Sequência Fibonacci

O que é a sequência de Fibonacci?

É uma sucessão de números que, misteriosamente, aparece em muitos fenômenos da natureza. Descrita no final do século XII pelo italiano Leonardo Fibonacci, ela é infinita e começa com 0 e 1. Os números seguintes são sempre a soma dos dois números anteriores. Portanto, depois de 0 e 1, vêm 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

Ao transformar esses números em quadrados e dispô-los de maneira geométrica, é possível traçar uma espiral perfeita, que também aparece em diversos organismos vivos. Outra curiosidade é que os termos da sequência também estabelecem a chamada “proporção áurea”, muito usada na arte, na arquitetura e no design por ser considerada agradável aos olhos. Seu valor é de 1,618 e, quanto mais você avança na sequência de Fibonacci, mais a divisão entre um termo e seu antecessor se aproxima desse número.

Exemplos na natureza em que a sequência ou a espiral de Fibonacci aparece:


CONCHA DO CARAMUJO= Cada novo pedacinho tem a dimensão da somados dois antecessores

CAMALEÃO = Contraído, seu rabo é uma das representações mais perfeitas da espiral de Fibonacci

ELEFANTE = Se suas presas de marfim crescessem sem parar, ao final do processo, adivinhe qual seria o formato?

GIRASSOL = Suas sementes preenchem o miolo dispostas em dois conjuntos de espirais: geralmente, 21 no sentido horário e 34 no anti-horário

PINHA = As sementes crescem e se organizam em duas espirais que lembram a de Fibonacci: oito irradiando no sentido horário e 13 no anti-horário

POEMA CONTADINHO = Acharam o “número de ouro” até na razão entre as estrofes maiores e menores da Ilíada, épico de Homero sobre os últimos dias da Guerra de Troia

A BELEZA DESCRITA EM NÚMEROS = A “Proporção de ouro” aparece tanto em seres vivos quanto em criações humanas. Na matemática, a razão dourada é representada pela letra grega phi: φ

PARTENON = Os gregos já conheciam a proporção, embora não a fórmula para defini-la. A largura e a altura da fachada deste templo do século V a.C. estão na proporção de 1 para 1,618

ARTES = Esse recurso matemático também foi uma das principais marcas do Renascimento. A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, usa a razão na relação entre tronco e cabeça e entre elementos do rosto

AS GRANDES PIRÂMIDES

Mais um mistério: cada bloco é 1,618 vezes maior que o bloco do nível imediatamente acima. Em algumas, as câmaras internas têm comprimento 1,618 vezes maior que sua largura

OBJETOS DO COTIDIANO

Vários formatos de cartão de crédito já foram testados. O que se sagrou favorito do público têm laterais na razão de ouro. Fotos e jornais também costumam adotá-la

ROSTO = Dizem que, nas faces consideradas mais harmoniosas, a divisão da distância entre o centro da boca e o “terceiro olho” pela distância entre esse ponto e uma das pupilas bate no 1,618

CORPO = Se um humano “mediano” dividir sua altura pela distância entre o umbigo e a cabeça, o resultado será algo em torno de 1,618

MÃOS = Com exceção do dedão, em todos os outros dedos as articulações se relacionam na razão áurea

FONTE: Roberto Jamal, professor do cursinho Anglo, Claudio Possani, professor do Instituto de Matemática e Estatística da USP, e livro Do Not Open, vários autores.

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Tempo: Agostinho e Bergson (parte III)

          O período que compreende o final do século XIX e o começo do século XX é marcado pelo positivismo e pelo cientificismo; as ciências particulares deveriam seguir o paradigma das ciências positivas, cujo modelo era a física e assim trabalhar com dados empíricos e mensuráveis submetidos à lei de causalidade.

            O filósofo Henri Bergson (1859 – 1941) é um crítico dos pressupostos filosóficos da ciência de sua época, particularmente, da psicologia e da biologia.

            Bergson busca construir uma metafísica que não ignora a realidade de fato. Compreende que o primeiro acesso a essa realidade é a vida interior, constituída por nossa psique; assim, volta seu olhar a esse acesso privilegiado, buscando compreender sua natureza, antes de buscar investigar a realidade tida como exterior. Descobre que essa vida interior é de natureza temporal: o tempo, enquanto duração é a essência da vida psíquica. Todavia, não é assim que, no geral, a psicologia de seu tempo a entendeu; marcada pelo determinismo psicofísico, acabou por não reconhecer a verdadeira natureza psíquica, entendendo-a como sendo de natureza espacial.

            No início do século XX, quanto mais complexa tornava-se a organização da vida sobre o planeta, maior era a necessidade de que esse tempo fosse único e sincronizado.

          Num passo adiante das necessidades cotidianas, A. Einstein (1879 - 1955) percebeu que esse tempo único era múltiplo, que sua medida dependia do observador. Bergson não rejeitou a relatividade. Ao contrário, percebeu na linguagem simbólica da teoria algo ressonante com sua própria filosofia e reconheceu o valor científico desta criação da inteligência humana, mas uma observação feita pelo filósofo francês em 1922 procurou mostrar o que há de intuição na inteligência e o que há de duração no tempo da relatividade.  

            Infelizmente, a questão bergsoniana foi ofuscada pelo mito de Einstein.

            Desde o começo de suas investigações, Bergson procurou o que está ausente na filosofia: a precisão. Surpreendeu-se ao constatar que tanto a física quanto a matemática não se ocupavam do “tempo real”; o tempo que elas tratavam era um tempo que não servia para nada (...), não fazia nada. (Ensaio de 1930, ”Le possible et le réel”); mas se a física e a matemática não se ocupavam do tempo real, de que tempo se ocupavam? Numa concepção abstrata do tempo, os fenômenos que se sucedem no mundo físico seguem uma ordem constante e intemporal, em que a distinção do passado, presente e futuro parece ilusória. Trata-se de um tempo no qual a mesma causa sempre produz o mesmo efeito e é isso que torna possível o estabelecimento de leis que permitem a previsão, ao cálculo antecipado dos fenômenos futuros que preexistem de certa forma à sua realização.

            Bergson explica como se processa a “confusão entre tempo e espaço”, quando exprimimos a duração pela extensão, e a sucessão toma para nós a forma de uma linha contínua, ou de uma cadeia, cujas partes se tocam sem se penetrar.

            Assim, quando definimos o tempo desta forma estamos definindo na realidade, o espaço e a verdadeira duração..

            Bergson vê o tempo real como heterogêneo e qualitativo.

            Tempo é mudança essencial e contínua, passa incessantemente modificando tudo e constitui a própria essência da realidade psíquica. 

Tempo: Agostinho e Bergson (parte II)

              O tempo da história, que denominamos “imaginário” (psicológico), depende do tempo real (cronológico) - que não é outro senão o tempo que o relógio assinala -  é a maneira pela qual o tempo é subjetivamente vivenciado pelos indivíduos.

            O tempo é, e sempre tem sido um problema filosófico de grande interesse, não só para filósofos e cientistas, mas também para o indivíduo comum, que está acostumado a organizar e realizar suas tarefas e experiências de acordo com a ideia de tempo concebida como sucessão de instantes traduzida em presente, passado e futuro.

            Santo Agostinho (354-430) foi um dos grandes pensadores a se preocupar com esta problemática. A reflexão filosófica agostiniana sobre o tempo encontrada no Livro XI da obra Confissões defronta-se com algumas dificuldades principais ao falar sobre o tempo pois não podemos apreendê-lo - ele nos escapa – assim como não conseguimos medi-lo. E também não podemos percebê-lo; diz-nos Agostinho em Confissões:

Que é, pois, o tempo? Quem poderá explicá-lo clara e brevemente? Quem o poderá apreender, mesmo só com o pensamento, para depois nos traduzir por palavras o seu conceito? E que assunto mais familiar e mais batido nas nossas conversas do que o tempo? Quando dele falamos, compreendemos o que dizemos. Compreendemos também o que nos dizem quando dele nos falam. O que é, por conseguinte, o tempo? Se ninguém me perguntar, eu sei; se o quiser explicar a quem me fizer a pergunta, já não sei. (CONFISSÕES, livro XI, cap.14, p. 322)

            Nossa percepção do tempo permite dividi-lo em três partes: passado, presente e futuro. E, a partir de nossa experiência, sabemos que esses três tempos são bastante distintos entre si.

            Santo Agostinho entende que existe outra maneira de pensar o tempo sem ser em termos espaciais, mas a partir de outro elemento que é a linguagem, a fala; continuamos pensando o tempo, mas sem a tentativa de explicar a sua essência. Podemos tentar apreendê-lo a partir de nossas práticas linguísticas, porque a linguagem adquire sentido a partir do tempo. Em outras palavras, a linguagem articula o tempo e o tempo articula a própria linguagem; conclui o bispo: Pensar o tempo significa, portanto, a obrigação de pensar na linguagem que o diz e que nele se diz.

            Para o bispo de Hipona, os tempos são três: presente das coisas passadas, presente das coisas presentes, presente das coisas futuras. O passado é o tempo que se afasta de nós, de nossa consciência, de nossa percepção; é tudo que já não é mais palpável, simplesmente porque já se foi. O presente é o “agora”, o tempo em que nossas experiências acontecem, no momento em que ocorrem. E o futuro, por sua vez, corresponde ao conjunto de todos os eventos que se concretizam na medida em que o tempo passa.

            Para Agostinho, fora da criação existe somente a eternidade de Deus, que consiste na imutabilidade, na ausência de tempo.

           

Tempo. Visões de Santo Agostinho e Henri Bergson

        O tempo possui diversos aspectos. No tempo físico temos o movimento exterior das coisas e no tempo psicológico, a sucessão dos nossos estados internos. O tempo físico e psicológico não “acontece” em permanente coincidência. O tempo que firma o calendário é o cronológico, o qual está intimamente relacionado ao físico e pode ser considerado o tempo dos acontecimentos. Já o tempo histórico representa a duração das formas históricas da vida.

            Embora se trate de um artifício, a decomposição do tempo é muito útil na organização das nossas ações inteligentes e, se não atribui ao tempo um significado filosófico, permite à ciência trabalhar com essa grandeza fundamental no estudo dos fenômenos.

            Para Santo Agostinho (354 – 430), a sede do tempo está na alma e para entender isso é necessário ter em mente a ideia de que o tempo faz parte da criação: o tempo é criatura.

            Para o filósofo francês Henri Bergson (1859 -1941), há um só tempo real e os outros são fictícios. Sua filosofia é uma filosofia do tempo; um tempo esquemático e espacial, incompatível com o tempo contínuo, que muda, é memória e criação.